微积分的思维,是对传统方法的降维打击,大道至简其实不难!

浏览:95 发表时间:2020-06-27 14:03:19
在工程设计中,普遍地会用到微积分来分析曲面实体的体量大小或内力分布。所以学设计的,总要掌握一些微积分的知识才好。
在学习微积分之初,老师经常会引用恩格斯在《自然辩证法》中对微积分的一句评价:
只有微积分才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态,并且也表明过程:运动。
从字面的表达看,“状态”有静态的含义。比如平面坐标系内X轴上的一个点,我们这样来表明它的状态:(x1,0)。点的维度是0。让这个点沿X轴运动,在运动到坐标(x2,0)时,我们这样来表明它的过程:x2-x1。这是一条直线,直线是一维的。
以此类推,还可以进阶到二维的面,三维的体,四维以至N维。
我们以一个自然数2为例,做两个简单的变换,得出两个等式:2=2-0和2=2/3*3。
正在辅导孩子小学数学的孩儿他妈看到此处,当即暴起,表示这是脱了裤子放屁!
好吧,我们看图说话:
微积分的思维,是对传统方法的降维打击,大道至简其实不难!
微积分的思维,是对传统方法的降维打击,大道至简其实不难!
看似简单无脑的变换式,让我们实现了从低维到高维的思维过渡。
通过上述的两个等式,又得到一个新的等式:2/3*3=2-0。我们可以这样理解它的含义:
一个二维的正方形的面积可以与一条一维的直线段的长度等值。这种等值关系,就是两个维度空间的通道。
把上面的几个等式先放一边,我们来求一个曲线三角形的面积。
微积分的思维,是对传统方法的降维打击,大道至简其实不难!
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如上图,曲线三角形的斜边是曲线y=x^2的一部分,对应的x∈[0,2],求阴影部分也就是曲线三角形的面积。
首先,我们在X轴上取值x,使0≤x≤2。再取一个无限小的增量Δx,这个增量Δx,小到多小呢?小到可以忽略不计,所以有(x+Δx)^2无限约等于x^2。
这样,我们就得到一个无限近似的长方形,X轴向的边长为Δx,Y轴向的边长为x^2,
它的面积:ΔS=x^2*Δx。
从形式表达的结果看,ΔS也是一个无限小的量。
微积分的思维,是对传统方法的降维打击,大道至简其实不难!
微积分的思维,是对传统方法的降维打击,大道至简其实不难!
而在x∈[0,2]上,有无限个ΔS,它们的累加结果,就是曲线三角形的面积S。
我们用一个积分等式,来表达上述的结果:
微积分的思维,是对传统方法的降维打击,大道至简其实不难!
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这个等式本身是无法解的。
但从等式2/3*3=2-0中,我们得到过这个启示:
一个二维的正方形的面积可以与一条一维的直线段的长度等值。
那么,我们就去找出与这个曲线三角形等值的直线来。
下图是曲线y=1/3 x^3的一部分,对应的x∈[0,2]。
微积分的思维,是对传统方法的降维打击,大道至简其实不难!
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当x∈[0,2]时,y∈[0,8/3]。
这个很好计算。取x1=0,则y1=1/3*0^3=0;取x2=2,则y2=1/3*2^3=8/3;
那么,两个端点在Y轴的投影距离y2-y1=8/3-0=8/3。
这条直线,就是我们要找的直线。接下来的工作,就是证明曲线三角形的面积与这条直线的长度等值,即:
S= ∫x^2*dx,x∈[0,2]=y2-y1
首先,我们在这条直线上,也取一个无限小的量Δy。
在x∈[0,2]上,有无限个Δy,它们的累加结果,就是直线的长度y2-y1。
只要使每一个Δy,都有一个对应的x^2*Δx,直线的长度就与曲线三角形的面积等值。
即如果Δy=x^2*Δx,那么S=∫x^2*dx,x∈[0,2]=y2-y1。
参照等式2=2/3*3,我们将Δy变换成Δy=Δy/Δx*Δx。
从上述的推演来看,只要使Δy/Δx=x^2,证明就可以完成。
我们将Δy/Δx拿出来单独研究。
Δy/Δx表示曲线的曲率,也被称为函数的导数,表达式:f'(x)=Δy/Δx。
有同学不明白它为什么叫导数,因为正是它,帮助我们把计算从高维导向低维,从混沌导向清晰。
下面的任务,就是求Δy所对应的函数y=1/3 x^3的导数:
微积分的思维,是对传统方法的降维打击,大道至简其实不难!
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lim,极限的简写
结果:Δy/Δx=x^2。
那么,曲线三角形的面积S= ∫x^2*dx,x∈[0,2]=y2-y1=8/3。
恩格斯所说的表明过程,应该可以部分归结到这个积分公式上来S= ∫x^2*dx,x∈[0,2]。
但它是否真的表明了过程,是值得怀疑的。因为我们并没在这个维度上做出解答,而是进行了降维处理,从二维转换到一维,找到了一个可转换的解。
微积分更像是一种降维打击的思维,把高维空间的混沌逻辑整体打个包,丢到低维空间转化成简单的线性逻辑。这才是它的真谛。
厘清了整体变换的过程,再遇到与曲线三角形相似的问题,我们就可以用导数反向推导低维函数方程,进行线性求解。
所以,微积分的整体逻辑并不复杂,把一切归于简单才是它的信仰!


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